Module « Algèbre 1 : structures mathématiques »
Volume horaire
- 24 heures de cours magistral.
- 34 heures de travaux dirigés.
Description du module
Le but de cet enseignement et de familiariser l’étudiant avec le raisonnement et les démonstrations mathématiques, en particulier avec les notions d’équivalence, de condition nécessaire et de condition suffisante, le langage des ensembles et ses applications ainsi qu’aux principes des structures algébriques. À cet égard, on pourra manipuler le raisonnement par l’absurde en s’appuyant sur l’arithmétique élémentaire que possède tout élève de terminale scientifique n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité.
- Initiation au raisonnement mathématique : les notions d'équivalence, de condition nécessaire et de condition suffisante, le raisonnement par l'absurde (par exemple, pour montrer que √2 n'est pas rationnel). Exemples issus de l'arithmétique élémentaire (notions de multiples, diviseurs, pgcd, nombre premiers) et de la géométrie (propriétés des isométries, théorème de Thalès et la perspective).
- Langage des ensembles et applications : ensembles, opérations sur les ensembles, applications, propriétés des applications, relations d'équivalence et relations d'ordre ; notion de majorant, minorant, borne supérieure et borne inférieure d’une partie de R. Illustrations, exemples et contre-exemples sur les ensembles fondamentaux.
- Initiation aux structures algébriques : groupes, anneaux, corps. On se bornera à la définition et la démonstration des propriétés triviales (par exemple l'unicité de l'élément neutre et de l'inverse). On insistera sur les exemples de N, Z, Q, R, C en liaison avec l'arithmétique élémentaire.